La resolución de las ecuaciones logarítmicas nos llevan unos pasos más que la solución de ecuaciones algebraicas.
En la solución se toma en cuenta las propiedades de los logaritmos y exponenciales.
Comenzaremos con la solución de un sistema de ecuaciones exponenciales.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:
$${5^x} \cdot {25^{y + 1}} = {5^7} \to (1)$$
$${2^{x – 1}} \cdot {2^{y + 2}} = 64 \to (2)$$
De (1) el número 25 se eleva al cuadrado y queda de la siguiente manera
$${5^x} \cdot {5^{2(y + 1)}} = {5^7}$$
Al ser de la misma base, los exponentes se suman dando lo siguiente
$${5^{x + 2y + 2}} = {5^7}$$
Teniendo los 2 lados de la misma base, los exponentes se igualan
$$x + 2y + 2 = 7$$
Y poniendo lo anterior de un lado las variables y del otro el número, quedando nuestra ecuación (a)
$$x + 2y = 5 \to (a)$$
De la ecuación (2) se hace algo similar y queda de la siguiente forma
$${2^{x – 1}} \cdot {2^{y + 2}} = 64$$
El número 64 se pasa a base 2, pero con exponente 6
$${2^{x – 1}} \cdot {2^{y + 2}} = {2^6}$$
Y del lado izquierdo al ser factores de la misma base, los exponentes se suman quedando
$${2^{x – 1 + y + 2}} = {2^6}$$
Reduciendo los exponentes
$${2^{x + y + 1}} = {2^6}$$
Y como vimos la ecuación (1), al tener de los lados la misma base se pueden igualar estas
$$x + y + 1 = 6$$
Y despejando $$x+y$$, nos da la ecuación (2) de nuestro sistema de ecuaciones en forma algebraica
$$x + y = 5 \to (b)$$
Para poder utilizar la técnica de resolución de sistema de ecuaciones por suma y resta, la ecuación (1) se multiplica en ambos lados por $$(-1)$$
$$\left[ {x + 2y = 5} \right]( – 1)$$
Y nos quedaría de para sumar o restar
$$ – x – 2y = – 5$$
$$ + x + \,\,\,y = + 5$$
Lo anterior, al sumar término a término, se elimina la letra equis y los números del lado derecho también, resultando
$$ – y = 0\quad \to y = 0$$
Y sustituyendo la letra $$y$$ en (b) no queda resuelta la letra $$x$$
$$x + 0 = 5$$
$$x = 5$$