Método integral por partes

El método integral por partes se da con la siguiente integral:

$\int u d v = u v - \int v d u$
el método nos dice que tenemos que encontrar primero
una $u$ y después una $d v$

$\int x \sin x d x$

para este ejemplo de integral por partes, debemos establecer cuanto vale $u$ ,
en este caso será $x$ y $d v$ será $\sin x$

$u = x$	$d v = \sin x$
$d u = d x$	$v = - c o s x$

Por lo tanto la solución por medio de la fórmula

$\int u d v = u v - \int v d u$ es:

$= - x c o s x - \int - c o s x d x$

integrando $- \int - c o s x d x$ nos da como resultado lo siguiente

$= - x c o s x + s i n x + C$

Realizar $\int x \sqrt[3]{x - 3} d x$

$u = x$	$d v = \sqrt[3]{x - 3}$
$d u = d x$	$v = \frac{3}{4} {(x - 3)}^{4 / 3}$

Para determinar a la letra $v$ se debe cambiar de $d v = \sqrt{x - 3}$
por $d v = (x - 3)^{\frac{1}{3}}$ e integrarla

Siendo

w = x - 3

d w = d x

Estando completa la integral, se precederá a cambiarla de variable, quedando de la siguiente forma

$\int w^{\frac{1}{3}} d x$

Resolviendo la anterior integral

$= \frac{3}{4} {(w)}^{4 / 3}$

Cambiando la variable $w$ por su valor original, queda de la siguiente forma

$v = \frac{3}{4} {(x - 3)}^{4 / 3}$

Ahora teniendo los datos completos , procedemos a aplicar la fórmula de integral por partes

$\int u d v = u v - \int v d u$

Lo cual queda

$= \frac{3}{4} x {(x - 3)}^{4 / 3} - \frac{3}{4} \int (x - 3)^{4 / 3} d x$

Por último procedemos a calcular la integral resultante, por cambio de variable

$z = (x - 3)$ y $d z = d x$

Estando completa la función, tenemos:

$\int z^{\frac{4}{3}} d z = \frac{3}{7} {(z)}^{7 / 3}$

Cambiando la variable $z$ queda

$\frac{3}{7} {(x - 1)}^{7 / 3}$

y poniéndola en la integral resultante nos da

$= \frac{3}{4} x {(x - 3)}^{4 / 3} - \frac{3}{7} {(x - 1)}^{7 / 3} + C$
lo cual es el Resultado