Método Integral por Partes

El método integral por partes se da con la siguiente integral:

$$\int {u\;dv = uv – \int {v\;du} } $$
el método nos dice que tenemos que encontrar primero
una $$u$$ y después una $$dv$$

Revisemos el siguiente ejemplo:

$$\int{x\sin\;x\;dx}$$

para este ejemplo de integral por partes, debemos establecer cuanto vale $$u$$,
en este caso será $$x$$ y $$dv$$ será $$\sin x$$

 

$$u=x$$ $$dv=\sin x$$
$$du=\;dx$$ $$v=-cos x$$

 

Por lo tanto la solución por medio de la fórmula

$$\int {u\;dv = uv – \int {v\;du} } $$ es:

$$= -x \;cos\; x-\int{-cos\;x\;dx}$$

integrando $$-\int{-cos\;x\;dx}$$ nos da como resultado lo siguiente

$$= -x \;cos\; x + sin\;x+C$$

Ejercicio 2

Realizar $$\int x\root 3\of{x-3}\; dx$$

 

$$u=x$$ $$dv=\root 3\of{x-3}$$
$$du=\;dx$$ $$\color{blue}{v = \frac{3}{4}{\left( {x – 3} \right)^{4/3}}}$$

 

Para determinar a la letra$$v$$ se debe cambiar de $$dv=\sqrt{x-3}$$
por $$dv=(x-3)^{\frac{1}{3}}$$ e integrarla

Siendo

 

$$w=x-3$$ $$dw=dx$$

 

Estando completa la integral, se precederá a cambiarla de variable, quedando de la siguiente forma

$$\int w^{\frac{1}{3}}dx$$

Resolviendo la anterior integral

$$=\frac{3}{4}{\left( {w} \right)^{4/3}}$$

Cambiando la variable $$w$$ por su valor original, queda de la siguiente forma

$$\color{blue}{v=\frac{3}{4}{\left( {x – 3} \right)^{4/3}}}$$

Ahora teniendo los datos completos , procedemos a aplicar la fórmula de integral por partes

$$\int {u\;dv = uv – \int {v\;du} } $$

Lo cual queda

$$=\frac{3}{4}x{\left( {x – 3} \right)^{4/3}} – \frac{3}{4}\int {(x – 3)^{4/3}}dx$$

Por último procedemos a calcular la integral resultante, por cambio de variable

$$z=(x – 3)$$ y $$dz=dx$$

Estando completa la función, tenemos:

$$\int z^{\frac{4}{3}}\;dz=\frac{3}{7}{\left( {z} \right)^{7/3}}$$

Cambiando la variable $$z$$ queda

$$\frac{3}{7}{\left( {x – 1} \right)^{7/3}}$$

y poniéndola en la integral resultante nos da

$$=\frac{3}{4}x{\left( {x – 3} \right)^{4/3}} – \frac{3}{7}{\left( {x – 1} \right)^{7/3}}+C$$
lo cual es el Resultado