Reglas básicas derivación

Reglas de Derivación NEM

por

Reglas de Derivación NEM: Guía Paso a Paso

Pensamiento Matemático 3

Las Reglas de Derivación NEM nos ayudan a resolver diferentes funciones que contienen suma, resta, multiplicación y división.

1. Suma y Resta de Derivadas

Reglas básicas:

Suma: $\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

Resta: $\frac{d}{dx}[f(x) – g(x)] = \frac{d}{dx}f(x) – \frac{d}{dx}g(x)$

Recuerda: La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

Video Destacado

Descripción del Video

Forma de derivar una suma o diferencia, además se recordarán las reglas vistas en videos anteriores, dentro del curso de Derivadas.

Ejemplo 1: Suma de funciones

Derivar $h(x) = x^2 + 3x + 5$

Paso 1: Identificamos cada término

  • Primer término: $x^2$
  • Segundo término: $3x$
  • Tercer término: $5$

Paso 2: Derivamos cada término

  • $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ (usando la regla de potencias)
  • $\frac{d}{dx}(3x) = 3$ (la derivada de $x$ es 1, multiplicada por 3)
  • $\frac{d}{dx}(5) = 0$ (la derivada de una constante es 0)

Paso 3: Sumamos las derivadas

$h'(x) = 2x + 3 + 0 = 2x + 3$

Ejemplo 2: Resta de funciones

Derivar $f(x) = x^3 – \sqrt{x} + 2x$

Paso 1: Identificamos los términos

  • $x^3$ = potencia cúbica
  • $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ (reescribimos la raíz como potencia)
  • $2x$ = término lineal

Paso 2: Derivamos cada término

  • $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
  • $\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
  • $\frac{d}{dx}(2x) = 2$

Paso 3: Combinamos los términos

$f'(x) = 3x^2 – \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2$

2. Regla del Producto

Si $h(x) = f(x)g(x)$, entonces:

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

Consejo: Piensa en “primer término por derivada del segundo más segundo término por derivada del primero”

Video Destacado

Descripción del Video

Ejemplo de la forma de encontrar la derivada de un producto o derivada de una multiplicación, dentro del curso de Derivadas.

Ejemplo 3: Regla del Producto

Derivar $y = (x^2 + 1)(3x – 2)$

Paso 1: Identificamos las funciones

  • $f(x) = x^2 + 1$
  • $g(x) = 3x – 2$

Paso 2: Calculamos las derivadas individuales

  • $f'(x) = 2x$
  • $g'(x) = 3$

Paso 3: Aplicamos la regla del producto

$y’ = (2x)(3x – 2) + (x^2 + 1)(3)$

Paso 4: Desarrollamos

$y’ = 6x^2 – 4x + 3x^2 + 3$

$y’ = 9x^2 – 4x + 3$

3. Regla del Cociente

Si $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, entonces:

$h'(x) = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Recordatorio: El denominador siempre es el cuadrado del denominador original

Video Destacado

Descripción del Video

Ejemplo de la forma de encontrar la derivada de un cociente o una división, primer ejemplo dentro del curso de Derivadas.

Ejemplo 4: Regla del Cociente

Derivar $y = \frac{x^2 + 1}{x}$

Paso 1: Identificamos numerador y denominador

  • $f(x) = x^2 + 1$ (numerador)
  • $g(x) = x$ (denominador)

Paso 2: Calculamos las derivadas

  • $f'(x) = 2x$
  • $g'(x) = 1$

Paso 3: Aplicamos la regla del cociente

$y’ = \frac{(2x)(x) – (x^2 + 1)(1)}{x^2}$

Paso 4: Simplificamos

$y’ = \frac{2x^2 – x^2 – 1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2}$

Ejercicios Propuestos

Deriva las siguientes funciones:

  1. $y = x^3 – 2x^2 + 4x – 1$
  2. $y = (x + 2)(x^2 – 1)$
  3. $y = \frac{2x + 1}{x^2}$
  4. $y = (x^2 + 3)(2x – 5)$
Sugerencia: Aplica paso a paso las reglas aprendidas y verifica tus resultados.

Consejos Finales

  • Siempre identifica primero qué tipo de operación estás realizando
  • Escribe todos los pasos, no te saltes ninguno
  • Revisa tus signos cuidadosamente
  • Simplifica tu respuesta final cuando sea posible


← Anterior


☰ Temario


Siguiente →