Si $$f(x)$$admite un valor máximo o mínimo $$x = c$$, entonces $$f(c – h)$$ es casi igual a $$f(c)$$ si $$h$$ es un número casi igual a cero. Así, si $$f(c – h) = f(c)$$, simplificando y asignando $$h$$ el valor de cero se hallan los valores de $$x$$ que corresponde al valor máximo o mínimo de la función.
El método comprende de varios pasos para llegar a una solución de valor máximo o mínimo, dependiendo del problema a tratar. Se puede tomar como una forma alternativa para obtener valores de optimización, que se puede hacer con cálculo diferencial.
Los pasos se ejemplifican en el siguiente problema.
Ejemplo. Descomponer el número 81 en dos sumandos de forma que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máximo.
Sean las variables $$x$$ e $$y$$ los sumandos, entonces $$x+y=81$$, despejando $$y$$ queda de la siguiente forma
$$y=81-x$$
Ahora sea $$P$$ el producto que nos piden , entonces $$P=x^2 y$$, para dejarlo en función de x, se sustituye $$y=81-y$$ en la ecuación de $$p$$, quedando todo en función de $$x$$.
$$P(x)=x^2(81-x)=81x^2-x^3$$,
$$P(x)=81x^2-x^3$$ es nuestra ecuación a tratar por el método de Fermat.
teniendo $$P(x-h)=P(x)$$
$$81(x-h)^2-(x-h)^3=81x^2-x^3$$
$$81(x^2-2xh+h^2)-(x^3-3x^2h+3xh^2-h^3)=81x^2-x^3$$
$$81x^2-162xh+81h^2-x^3+3x^2h-3xh^2+h^3=81x^2-x^3$$
Simplificando
$$81{{\not x}^2} – 162xh + 81{h^2} – {{\not x}^3} + 3{x^2}h – 3x{h^2} + {h^3} = 81{{\not x}^2} – {{\not x}^3}$$
nos queda
$$-162xh+81h^2+3x^2h-3xh^2+h^3=0$$
y dividiendo todo entre $$h$$
$$\frac{{ – 162xh + 81{h^2} + 3{x^2}h – 3x{h^2} + {h^3}}}{h} = \frac{0}{h}$$
resulta lo siguiente
$$ – 162x + 81h + 3{x^2} – 3xh + {h^2} = 0$$
si $$h=0$$ queda lo siguiente
$$ – 162x + 3{x^2} = 0$$
Aquí factorizamos términos en común
$$x(-162+3x)=0$$
donde las soluciones son $$x=0$$ y $$-162+3x=0$$, aquí el valor de $$x=0$$ no nos serviría, dado que cualquier número multiplicado, por cero , da cero, no habría producto,
si se despeja $$x$$ de lo de la ecuación $$-162+3x=0$$ nos da
$$x = \frac{{162}}{3} = 54$$
y de la ecuación $$y=81-x$$ se sustituye x
$$y=81-54=27$$
por lo tanto el producto máximo nos da de la siguiente operación $$P=(54)^2*27=78, 732$$