Límites NEM

Solución Detallada:

Para resolver este límite, seguiremos los siguientes pasos:

1. Identificamos que la función $\color{#3498db}{f(x) = 3x^2 – 4x + 1}$ es un polinomio.
2. Recordamos que los polinomios son funciones continuas en todo su dominio. Esto significa que el límite de un polinomio cuando $x$ se acerca a cualquier valor es igual al valor de la función en ese punto.
3. Por lo tanto, podemos calcular este límite simplemente sustituyendo $x$ por 2 en la expresión original.

Realizando la sustitución:

$\lim_{x \to 2} \color{#3498db}{(3x^2 – 4x + 1)} = \color{#2ecc71}{3(2)^2 – 4(2) + 1}$
$= \color{#e67e22}{3(4) – 8 + 1}$
$= \color{#9b59b6}{12 – 8 + 1}$
$= \boxed{5}$

Por lo tanto, el límite de la función cuando $x$ se acerca a 2 es 5.

Solución Detallada:

Este límite requiere un enfoque más cuidadoso. Sigamos estos pasos:

1. Observamos que si intentamos sustituir directamente $x$ por 1, obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$, lo cual no nos da una solución válida.
2. Para resolver esta indeterminación, debemos factorizar el numerador y simplificar la fracción.
3. Notamos que el numerador $\color{#3498db}{x^2 – 1}$ es una diferencia de cuadrados, que se puede factorizar como $(x+1)(x-1)$.

Procedamos con la factorización y simplificación:

$\lim_{x \to 1} \frac{\color{#3498db}{x^2 – 1}}{\color{#2ecc71}{x – 1}} = \lim_{x \to 1} \frac{\color{#e67e22}{(x+1)(x-1)}}{\color{#2ecc71}{x-1}}$
$= \lim_{x \to 1} \color{#9b59b6}{(x+1)}$ (después de cancelar $(x-1)$ en numerador y denominador)
$= \color{#9b59b6}{1 + 1}$
$= \boxed{2}$

Explicación adicional:

• Al factorizar y simplificar, eliminamos la indeterminación $\frac{0}{0}$.
• La expresión resultante, $(x+1)$, es continua en $x = 1$.
• Por lo tanto, podemos evaluar directamente sustituyendo $x$ por 1 en esta expresión simplificada.

Así, el límite de la función cuando $x$ se acerca a 1 es 2.

Solución Detallada:

Este límite requiere la técnica de racionalización. Sigamos estos pasos:

1. Observamos que al sustituir $x = 0$, obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$.
2. Para resolver esto, multiplicaremos el numerador y denominador por el conjugado de $\sqrt{x+1} – 1$, que es $\sqrt{x+1} + 1$.
3. Esto nos permitirá simplificar la expresión y eliminar la raíz cuadrada del numerador.

Procedamos con la racionalización:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1})^2 – 1^2}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) – 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}$
$= \frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{2}$

Por lo tanto, el límite es $\frac{1}{2}$ o $0.5$.

Solución Detallada:

Para resolver límites al infinito de funciones racionales, seguimos estos pasos:

1. Identificamos el término de mayor grado en el numerador y denominador.
2. Dividimos tanto el numerador como el denominador por el término de mayor grado del denominador.
3. Evaluamos el límite de la expresión resultante cuando $x$ tiende a infinito.

Aplicando estos pasos:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 – 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 – 1} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 – \frac{1}{x^2}}$

Ahora, evaluamos qué sucede con cada término cuando $x$ tiende a infinito:

• $\frac{3}{x} \to 0$ cuando $x \to \infty$
• $\frac{1}{x^2} \to 0$ cuando $x \to \infty$

Por lo tanto:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 – \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 – 0} = 2$

El límite es 2.

Solución Detallada:

Este es un límite lateral por la izquierda. Debemos considerar qué sucede cuando $x$ se acerca a 3 por valores menores que 3.

1. Observamos que cuando $x$ se acerca a 3 por la izquierda, $x – 3$ se acerca a 0 por valores negativos.
2. El numerador $x$ se acerca a 3.
3. A medida que el denominador se acerca a 0 por valores negativos, la fracción tiende a $-\infty$.

Analicemos el comportamiento cerca de $x = 3$:

Vemos que a medida que $x$ se acerca a 3 por la izquierda, la fracción se hace cada vez más negativa.

Por lo tanto:

$\lim_{x \to 3^-} \frac{x}{x-3} = -\infty$

Solución Detallada:

Este es un límite trigonométrico fundamental. Aunque no podemos aplicar sustitución directa (ya que obtendríamos $\frac{0}{0}$), sabemos que este límite existe y su valor es 1.

Demostración intuitiva:

1. Consideremos el círculo unitario y un ángulo $x$ en radianes.
2. $\sin(x)$ representa la altura del punto en el círculo unitario.
3. Para ángulos pequeños, el arco de longitud $x$ es muy cercano a la altura $\sin(x)$.
4. A medida que $x$ se acerca a 0, la razón entre $\sin(x)$ y $x$ se acerca a 1.

Matemáticamente, se puede demostrar que:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

Este es un resultado fundamental en cálculo y se utiliza en muchas demostraciones y aplicaciones.

Solución Detallada:

Este límite requiere factorización tanto en el numerador como en el denominador. Sigamos estos pasos:

1. Factorizamos el numerador: $x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)$
2. Factorizamos el denominador: $x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2)$
3. Simplificamos la fracción cancelando el factor común $(x – 2)$
4. Evaluamos el límite de la expresión resultante

Aplicando estos pasos:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 – 8}{x^2 – 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x + 2)(x – 2)}$
$= \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$

Ahora podemos evaluar directamente sustituyendo $x = 2$:

$= \frac{2^2 + 2(2) + 4}{2 + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Por lo tanto, el límite es 3.

Solución Detallada:

Este es un límite notable que define el número $e$, la base de los logaritmos naturales.

Aunque no podemos calcular este límite directamente por sustitución, se puede demostrar que:

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \approx 2.71828…$

Explicación intuitiva:

1. A medida que $x$ crece, $\frac{1}{x}$ se hace muy pequeño, pero no llega a cero.
2. Al mismo tiempo, estamos elevando a una potencia cada vez mayor.
3. Estos dos efectos se “equilibran” de tal manera que el límite converge al número $e$.

Este límite tiene muchas aplicaciones en matemáticas, física, y finanzas, especialmente en el estudio del crecimiento exponencial y el interés compuesto continuo.

Solución Detallada:

Este es otro límite notable relacionado con la función exponencial. Se puede demostrar que este límite es igual a 1.

Demostración usando la definición de derivada:

1. Reconocemos que este límite es la definición de la derivada de $e^x$ en $x = 0$.
2. Sabemos que la derivada de $e^x$ es $e^x$.
3. Evaluando en $x = 0$, obtenemos $e^0 = 1$.

Por lo tanto:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1$

Este límite es fundamental en el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas, y aparece en muchas aplicaciones de cálculo.

Solución Detallada:

Este límite es otro resultado fundamental en cálculo, relacionado con la función logaritmo natural.

Análisis del límite:

1. Observamos que al sustituir $x=1$, obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$.
2. Este límite es, de hecho, la definición de la derivada de $\ln(x)$ en $x=1$.
3. Sabemos que la derivada de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$.
4. Evaluando en $x=1$, obtenemos $\frac{1}{1} = 1$.

Por lo tanto:

$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$

Este resultado tiene varias aplicaciones importantes:

• Es la base para la aproximación lineal de $\ln(x)$ cerca de $x=1$.
• Se utiliza en la demostración de la regla de L’Hôpital.
• Es fundamental en el estudio de las tasas de crecimiento logarítmico.