Dominio y Rango. Pensamiento Matemático 3
Dominio y Rango de una Función
Explora los conceptos fundamentales de dominio y rango en funciones matemáticas. Este video te guiará a través de ejemplos prácticos y explicaciones claras para fortalecer tu comprensión del tema.
a. Completa la tabla y contesta las preguntas.
En un estacionamiento público hay cinco automóviles que ocupan un lugar durante el día y la noche debido a que pagan una pensión. Cierto día de la semana se lleva a cabo un registro de los vehículos que entran al día y se observa que en un lugar abierto al hogar llegan dos automóviles por hora.
| Horas transcurridas | Automóviles en el estacionamiento |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 7 |
| 2 | 9 |
| 3 | 11 |
| 4 | 13 |
| 5 | 15 |
| 6 | 17 |
| 7 | 19 |
1. ¿Qué sucede con el número de automóviles que hay en el estacionamiento a medida que pasa el tiempo?
Se observa un crecimiento lineal constante. El número de automóviles aumenta en 2 por cada hora que transcurre, comenzando con 5 automóviles en la hora 0.
2. Si se considera x como la cantidad de vehículos y t como las horas que transcurren, ¿qué expresión algebraica representa la relación entre las horas transcurridas y la cantidad de autos estacionados?
La expresión algebraica que representa esta relación es:
$x = 2t + 5$
Donde:
- $x$ es el número total de automóviles en el estacionamiento
- $t$ es el número de horas transcurridas
- 2 representa el número de automóviles que llegan por hora
- 5 es el número inicial de automóviles en el estacionamiento
3. ¿Cuál es el dominio y el rango de esta función en el contexto del problema?
Dominio: El tiempo transcurrido en horas, que son números enteros no negativos:
$t \in \{0, 1, 2, 3, …\}$ o $[0, \infty) \cap \mathbb{Z}$
Rango: El número de automóviles en el estacionamiento, que son números impares a partir de 5:
$x \in \{5, 7, 9, 11, …\}$ o $\{2n + 5 \mid n \in \mathbb{Z}, n \geq 0\}$
Aprende
Una función es la relación entre dos variables, donde la variable dependiente y = f(x) es aquella cuyo valor depende del valor de la variable independiente x. Con esta regla de correspondencia, a cada elemento del conjunto de valores x, llamado dominio, le corresponde un único valor del conjunto de valores y = f(x), el cual es llamado rango. Nótese que el rango es un subconjunto del codominio.
El dominio y el rango de una función pueden estar restringidos de acuerdo con la regla de correspondencia entre las variables, y pueden ser representados como conjunto o como intervalo.
| Conjunto | Intervalo | Se lee |
|---|---|---|
| Dominio | Dom(f): $x \in \mathbb{R}$ | $(-\infty, \infty)$ |
| Rango | Ran(f): $y \in \mathbb{R}$ | $(-\infty, \infty)$ |
Al rango de una función también se le conoce como recorrido, imagen o campo de valores.
Ejercicios para determinar el dominio de funciones
Ejercicio 1: Determinar el dominio de $f(x)=\frac{1}{x}$
Solución:
La función está definida para todos los valores de \( x \) excepto donde el denominador es igual a cero.
\[ x \neq 0 \]
Entonces, el dominio de \( f(x) = \frac{1}{x} \) es:
\[ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 \} \]
Ejercicio 2: Determinar el dominio de $f(x)=\frac{x-6}{x-7}$
Solución:
De nuevo, la función está definida para todos los valores de \( x \) excepto donde el denominador es igual a cero.
\[ x – 7 = 0 \]
\[ x = 7 \]
Entonces, el dominio de \( f(x) = \frac{x – 6}{x – 7} \) es:
\[ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 7 \} \]
Ejercicio 3: Determinar el dominio de $f(x)=\frac{x-9}{x^2-2x-8}$
Solución:
Primero, factorizamos el denominador:
\[ x^2 – 2x – 8 = (x – 4)(x + 2) \]
La función está definida para todos los valores de \( x \) excepto donde el denominador es igual a cero:
\[ (x – 4)(x + 2) = 0 \]
\[ x = 4 \quad \text{o} \quad x = -2 \]
Entonces, el dominio de \( f(x) = \frac{x – 9}{(x – 4)(x + 2)} \) es:
\[ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 4, \, x \neq -2 \} \]