Pensamiento Matemático 3

Tasa de Variación Promedio NEM.Conceptos Fundamentales: Cambio y Variación

Tasa de Variación Promedio NEM

TASA de VARIACIÓN MEDIA (TVM) a partir de la ECUACIÓN de una función, es decir, a partir de su expresión algebraica.

Cambio

El cambio es un concepto esencial en matemáticas y ciencias naturales. Se define como cualquier alteración en el estado, propiedades o características de un objeto o sistema a lo largo del tiempo.

Tipos de Cambio

  • Cambio espacial: Movimiento de un objeto en el espacio.
  • Cambio temporal: Evolución de un sistema a lo largo del tiempo.
  • Cambio cuantitativo: Variación en magnitudes medibles.
  • Cambio cualitativo: Transformación en las propiedades o naturaleza de un objeto.

Ejemplos de Cambio

  1. Crecimiento poblacional: El aumento o disminución del número de individuos en una población.
  2. Reacciones químicas: La transformación de sustancias en otras con diferentes propiedades.
  3. Ciclo del agua: Los cambios de estado del agua en la naturaleza.

A través de la historia han existido cambios no solo en las propiedades de los cuerpos, sino que también en las mismas leyes del movimiento de la materia.

En matemáticas, siempre tratamos de cuantificar todos los sucesos y fenómenos que nos rodean, por lo que el cambio también termina volviéndose un valor a estimar. A ese valor lo llamamos tasa de cambio o variación promedio.

Tasa de Variación Promedio

En matemáticas, cuantificamos el cambio mediante la tasa de variación promedio (TVP), también conocida como tasa de cambio media.

Definición Formal

La tasa de variación promedio de una función f(x) en un intervalo [x₁, x₂] se define como:

$$TVP = \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}$$

Esta fórmula representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)) en la gráfica de la función.

Interpretación Geométrica

La TVP puede visualizarse como:

  1. La pendiente de la recta secante entre dos puntos de la función.
  2. El cambio promedio de la función por unidad de cambio en la variable independiente.

Ejemplos de Tasa de Variación Promedio

1. Velocidad media:

Si un coche recorre 240 km en 3 horas, la velocidad media es:

$$TVP = \frac{240 \text{ km} – 0 \text{ km}}{3 \text{ h} – 0 \text{ h}} = 80 \text{ km/h}$$

2. Crecimiento poblacional:

Si una población pasa de 1000 a 1500 habitantes en 5 años, la tasa de crecimiento promedio es:

$$TVP = \frac{1500 – 1000}{5} = 100 \text{ habitantes/año}$$

3. Rendimiento financiero:

Si una inversión de $10,000 se convierte en $12,000 después de 2 años, el rendimiento promedio anual es:

$$TVP = \frac{12000 – 10000}{2} = 1000 \text{ dólares/año}$$

Notación Delta (Δ)

En cálculo, a menudo se utiliza la notación delta (Δ) para representar cambios:

  • Δx = x₂ – x₁ (cambio en x)
  • Δy = f(x₂) – f(x₁) (cambio en y)

Con esta notación, la TVP se puede expresar como:

$$TVP = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1 + \Delta x) – f(x_1)}{\Delta x}$$

Ejemplo con Notación Delta

Consideremos la función f(x) = x² en el intervalo [2, 5]:

$$\begin{align*}
\Delta x &= 5 – 2 = 3 \\
\Delta y &= f(5) – f(2) = 5^2 – 2^2 = 25 – 4 = 21 \\
TVP &= \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{21}{3} = 7
\end{align*}$$

Este resultado indica que, en promedio, la función f(x) = x² aumenta 7 unidades por cada unidad de incremento en x en el intervalo [2, 5].

La tasa de variación promedio NEM es un concepto fundamental que nos ayuda a entender y cuantificar el cambio en diversos contextos, desde la física y la economía hasta la biología y la ingeniería.