Máximos y Mínimos de Funciones NEM: Función Cuadrática
Pensamiento Matemático 3
Las funciones cuadráticas son herramientas poderosas para modelar diversos fenómenos en la vida cotidiana. Comprender sus máximos y mínimos nos permite resolver problemas prácticos sin necesidad de cálculo diferencial. Revisas toda la teoría del tema Máximos y Mínimos de Funciones NEM y podrás entender su utilidad en el mundo real.
Máximos y Mínimos de Funciones NEM
El #ProfeAndalon como obtener la coordenada del punto máximo o mínimo de una ecuación cuadrática usando la fórmula del vértice de la parábola.
Repaso: Función Cuadrática
Una función cuadrática tiene la forma general:
Donde \(a\), \(b\), y \(c\) son constantes, y \(a \neq 0\).
El Vértice: Punto Clave
El vértice de una parábola es el punto donde la función alcanza su valor máximo (si \(a < 0\)) o mínimo (si \(a > 0\)). Las fórmulas para encontrarlo son:
\[ y = f(x) = f(-\frac{b}{2a}) \]
Ejemplo Detallado
Analicemos la función cuadrática:
\[ f(x) = -2x^2 + 12x – 10 \]
Paso 1: Identificar \(a = -2\), \(b = 12\), \(c = -10\)
Paso 2: Calcular la coordenada \(x\) del vértice.
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3 \]
Paso 3: Calcular la coordenada \(y\) del vértice.
\[ \begin{align*}
y &= f(3) \\
&= -2(3)^2 + 12(3) – 10 \\
&= -2(9) + 36 – 10 \\
&= -18 + 36 – 10 \\
&= 8
\end{align*} \]
Conclusión: El vértice (3, 8) es el punto máximo de la función, ya que \(a < 0\).
Aplicaciones de Máximos y Mínimos de Funciones NEM en la Vida Cotidiana
1. Lanzamiento de Proyectiles
En física, la trayectoria de un proyectil lanzado en el aire (ignorando la resistencia del aire) sigue una función cuadrática. El punto más alto de la trayectoria corresponde al vértice de la parábola.
Ejemplo: Un cohete de juguete se lanza con una velocidad inicial. Su altura \(h\) en metros después de \(t\) segundos está dada por:
\[ h(t) = -4.9t^2 + 40t \]
Para encontrar la altura máxima y cuándo ocurre:
\[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-4.9)} \approx 4.08 \text{ segundos} \]
\[ h_{\text{max}} = h(4.08) \approx 81.63 \text{ metros} \]
El cohete alcanza su altura máxima de aproximadamente 81.63 metros después de 4.08 segundos.
2. Optimización de Ingresos
En economía, la relación entre el precio de un producto y los ingresos totales a menudo sigue una función cuadrática.
Ejemplo: Una tienda de electrónicos encuentra que sus ingresos \(R\) (en miles de pesos) en función del precio \(p\) de un nuevo gadget están dados por:
\[ R(p) = -2p^2 + 60p – 200 \]
Para maximizar los ingresos:
\[ p = -\frac{b}{2a} = -\frac{60}{2(-2)} = 15 \]
\[ R_{\text{max}} = R(15) = -2(15)^2 + 60(15) – 200 = 250 \]
La tienda maximizará sus ingresos (250,000 pesos) cuando fije el precio del gadget en 15,000 pesos.
Ejercicios para Alumnos
Ejercicio 1: Área de un Rectángulo
Un granjero tiene 100 metros de cerca y quiere cercar un área rectangular. Si \(x\) es el ancho del rectángulo, el área \(A\) en función de \(x\) está dada por:
\[ A(x) = x(50-x) = 50x – x^2 \]
Encuentra las dimensiones del rectángulo que maximizan el área.
Paso 1: Identificar \(a = -1\), \(b = 50\)
Paso 2: Calcular \(x\) para el máximo
\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2(-1)} = 25 \]
Paso 3: Calcular el área máxima
\[ A_{\text{max}} = A(25) = 50(25) – 25^2 = 1250 – 625 = 625 \]
El rectángulo debe medir 25m x 25m para un área máxima de 625 m².
Ejercicio 2: Trayectoria de una Pelota
Una pelota se lanza hacia arriba desde una altura de 1.5 metros. Su altura \(h\) en metros después de \(t\) segundos está dada por:
\[ h(t) = -4.9t^2 + 20t + 1.5 \]
Encuentra la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento ocurre.
Paso 1: Identificar \(a = -4.9\), \(b = 20\)
Paso 2: Calcular \(t\) para la altura máxima
\[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-4.9)} \approx 2.04 \text{ segundos} \]
Paso 3: Calcular la altura máxima
\[ h_{\text{max}} = h(2.04) \approx 21.94 \text{ metros} \]
La pelota alcanza una altura máxima de aproximadamente 21.94 metros después de 2.04 segundos.