La longitud de un segmento de recta se puede calcular mediante una fórmula específica, pero vamos a determinar primero las longitudes horizontales y verticales, las siguientes figuras nos muestra la forma de calcular dichas longitudes.
Como vemos en la figura anterior, solo se tiene que medir la longitud de los segmentos y eso es todo el procedimiento a seguir.
El procedimiento cambia cuando se pregunta de una línea recta que tiene ángulo diferente a 0°, 90°, 270°o 360°. Para este caso debemos utilizar una fórmula que deduciremos a continuación:
Para determinar la distancia entre dos puntos, tenemos que recurrir al teorema de Pitágoras.
Comenzamos por determinar los puntos A y B, los cuales tienen las siguientes coordenadas $A (x_1,y_1)$ y $B (x_2,y_2)$
Definimos a $\Delta$ tanto en x como en y de la siguiente forma:
$$\Delta x=x_2-x_1$$
$$\Delta y=y_2-y_1$$
La distancia va a ser desde el punto A hasta el punto B, para esto vemos que esa distancia es como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, donde sus catetos opuesto y adyacente son $\Delta x$ y $\Delta y$ respectivamente.
de acuerdo a el teorema de Pitágoras y llevándolo a nuestro triángulo, la fórmula queda de la siguiente forma:
$$d^2=(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$
despejando la letra d de la ecuación anterior y sustituyendo la deltas nos queda
Lo anterior la llamaremos Fórmula de Distancia entre Dos puntos.
Ejercicios de distancia entre dos puntos.
Calcular la distancia entre los puntos $A (-7,5)$ y $B (-2,9)$.
Para calcular la distancia entre los puntos A y B, recurrimos a la fórmula de distancia entre dos puntos e identificamos los valores de $x_1,x_2,y_1,y_2$.
Para nuestro problema tenemos \[A(\underbrace { – 7}_{{x_1}},\underbrace 5_{{y_1}})\] y \[B(\underbrace { – 2}_{{x_2}},\underbrace 9_{{y_2}})\]
Lo anterior se sustituye en la fórmula de distancia entre dos puntos de la siguiente forma
$$d=\sqrt{(-2-(-7))^2+(9-5)^2}$$
$$d=\sqrt{(-2+7))^2+(9-5)^2}$$
$$d=\sqrt{(5)^2+(4)^2}$$
$$d=\sqrt{25+16}$$
siendo el resultado
Aplicación de la longitud de la recta.
Una aplicación de la longitud de la recta es la de determinar perímetros y áreas de figuras geométricas.
Ejemplo del perímetro y área de un triángulo por medio de la Fórmula de Herón.
Determinar el perímetro y área del triángulo que tiene como vértices las coordenadas en A(4,5), B(1,1) y C(7,1).
Para calcular el perímetro del triángulo, primero hay que calcular las longitudes de los tres lados y para esto ocupamos la fórmula de distancia entre dos puntos.
Primero calcularemos la distancia entre el punto A(4,5) y B(1,1) ($d_{AB}$).
Sustituyendo los valores de los puntos en la fórmula obtenemos:
$$d_{AB}=\sqrt{(1-4)^2+(1-5)^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{9+16}$$
$$d_{AB}=\sqrt{25}$$
$$d_{AB}=5$$
Ahora calculamos la distancia entre el punto B(1,1) y C(7,1) ($d_{BC}$).
$$d_{BC}=\sqrt{(7-1)^2+(1-1)^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{(6)^2+(0)^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{36}$$
$$d_{BC}=6$$
Por último calculamos la distancia entre el punto A(4,5) y C(7,1) ($d_{AC}$).
$$d_{AC}=\sqrt{(7-4)^2+(1-5)^2}$$
$$d_{AC}=\sqrt{(3)^2+(-4)^2}$$
$$d_{AC}=\sqrt{9+16}$$
$$d_{AC}=\sqrt{25}$$
$$d_{AC}=5$$
Resumiendo, tenemos las tres longitudes del triángulo y para calcular su perímetro solo tenemos que sumarlas
$$P=d_{AB}+d_{BC}+d_{AC}$$
$$P=5+6+5$$
$$P=16\; u$$
Para el área tenemos que usar la Fórmula de Herón, la cual tenemos a continuación y hace referencia a los lados ya calculados
$$A=\sqrt{S(S-A)(S-B)(S-C)}$$
Donde A, B y C son los lados del triángulo
Para nuestro caso $A=d_{AB}$, $B=d_{BC}$ y $C=d_{AC}$.
$S$ es el semiperímetro y se calcula de la siguiente forma
$$S=\frac{A+B+C}{2}$$
Haciendo el cálculo con nuestros datos tenemos lo siguiente
$$S=\frac{5+6+5}{2}$$
$$S=\frac{16}{2}$$
$$S=8\;u$$
El semiperímetro lo sustituimos el la fórmula de Herón y queda
$$A=\sqrt{8(8-5)(8-6)(8-5)}$$
$$A=\sqrt{8(3)(2)(3)}$$
$$A=\sqrt{144}$$
$$A=12\;u^2$$
Nuestro triángulo tiene un perímetro $\color{blue}{P=16\;u}$ y una área de $\color{blue}{A= 12\;u^2}$.
Cálculo de áreas mediante determinates
Otra forma de calcular el área de la figura geométrica es utilizando los determinantes, representada por lo siguiente:
$$\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\ x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix} $$
De inicio lo que se debe hacer es sustituir el valor de las tres coordenadas del triángulo en el siguiente determinante y seguir el orden de las flechas para multiplicar cada valor de x con y de la trayectoria descrita en la figura.
De la figura anterior se desprende la siguiente fórmula, proveniente de la regla de Sarrus:
$$D=(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(x_1y_3+x_3y_2+x_2y_1)$$
Para determinar el área, en este caso de una figura de tres lados tenemos lo siguiente
$$A=\frac{1}{2} |D| $$
Ejemplo del cálculo de áreas mediante determinantes.
Determinar el área del triángulo que tiene como vértices las coordenadas en A(4,5), B(1,1) y C(7,1) mediante determinantes.
Utilizando la fórmula D, tenemos lo siguiente:
$$D=[(4)(1)+(1)(1)+(7)(5)]-[(4)(1)+(7)(1)+(1)(5)]$$
$$D=[(4)+(1)+(35)]-[(4)+(7)+(5)]$$
$$D=[40]-[16]$$
$$D=[40]-[16]$$
$$D=24$$
Para el área se usa la fórmulas A
$$A=\frac{1}{2} |24| $$
$$A=12\ u^2 $$