La ecuación general de la circunferencia se genera a partir de la ecuación en forma ordinaria, para tal efecto debemos desarrollar la ecuación $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ y mandar todos los elementos al lado izquierdo e igualarla a cero. Como no sabemos los valores de h y k, dejaremos la ecuación de la siguiente forma:
Donde D, E y F son valores constantes. La ecuación anterior se conoce como forma general de la circunferencia.
Ejemplo de Ecuación General de la Circunferencia
Halla la ecuación de la circunferencia en forma general cuyo centro es $C(4,3)$ y su radio es $r=5$.
Para encontrar la forma general, debemos utilizar la forma ordinaria y queda con los valores dados de la siguiente forma
$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$
$$(x-4)^2+(y-3)^2=5^2$$
Aquí desarrollamos la ecuación.
$$x^2-8x+16+y^2-6y+9=25$$
Agrupamos de tal forma que tenga el orden de la forma general
$$x^2+y^2-8x-6y+9+16=25$$
Se pasa el 25 al lado izquierdo de la ecuación y se realiza las sumas y restas respectivas.
$$x^2+y^2-8x-6y+25-25=0$$
$$x^2+y^2-8x-6y+0=0$$
Ejemplo de pasar de ecuación de la circunferencia en forma general a forma ordinaria.
Para pasar de la forma general a la forma ordinaria se debe emplear álgebra, por lo tanto, procederemos a realizar lo siguiente con el resultado del ejercicio anterior:
$$x^2+y^2-8x-6y=0$$
Primero se agrupa todo lo que tenga $x$ y luego todo lo que tenga $y$ empezando por el de mayor potencia
$$x^2-8x+y^2-6y=0$$
Después agrupamos todo lo que tenga $x$ e $y$, dentro de unos paréntesis, dejado un hueco para un tercer término.
$$(x^2-8x+\;\;\;\;\;)+(y^2-6y+\;\;\;\;\;)=0$$
Del segunto término del trinomio incompleto, se toma el coeficiente númerico y se eleva al cuadrado.
Del primer trinomio es $\frac{8}{2}=4$
Del segundo trinomio es $\frac{6}{2}=3$
Los valores anteriores se elevan al cuadrado ($4^2=16\;$,$\;3^2=9$) y se ponen tanto en el hueco que dejamos anteriormente del lado izquierdo como del lado derecho para no perder la igualdad.
$$(x^2-8x+16)+(y^2-6y+9)=16+9+0$$
Lo anterior fue para completar el trinomio cuadrado perfecto, tato para $x$ como para $y$. Procedemos a factorizar del lado izquierdo.
Si sabemos que es trinomio cuadrado perfecto, procederemos a realizar lo siguiente con el primer y tercer término.
$\sqrt{x^2}=x$ y $\sqrt{16}=4$
$\sqrt{y^2}=y$ y $\sqrt{9}=3$
Los valores anteriores se colocan de la siguiente forma:
Lo anterior representa la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria, como al inicio del ejemplo anterior.
Centro y radio a partir de la ecuación general de la circunferencia.
Partiendo de la ecuación de la circunferencia en forma general $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, primero debemos determinar el valor de D, E y F. Después se sustituyen en las siguientes ecuaciones.
$$C\left(\frac{-D}{2},\frac{-E}{2}\right)$$
$$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$$
Ejemplo para utilizar la fórmula de radio y centro de una circunferencia
Del ejemplo que hemos estado utilizando $x^2+y^2-8x-6y=0$, distinguimos los valores de D, E y F.
$$D=-8\;\;\;\;E=-6\;\;\;\;F=0$$
Primero calculamos el centro $C(h,k)$.
$$C\left(\frac{-D}{2},\frac{-E}{2}\right)$$
$$C\left(\frac{-(-8)}{2},\frac{-(-6)}{2}\right)$$
$$C\left(\frac{8}{2},\frac{6}{2}\right)$$
$$C(4,3)$$
Ahora resolvemos para encontrar el radio
$$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$$
$$r=\frac{1}{2}\sqrt{(-8)^2+(-6)^2-4(0)}$$
$$r=\frac{1}{2}\sqrt{64+36-0}$$
$$r=\frac{1}{2}\sqrt{100}$$
$$r=\frac{1}{2}(10)$$
$$r=5$$
Resumiendo el resultado