Longitud de un segmento de recta

La longitud de un segmento de recta se puede calcular mediante una fórmula específica, pero vamos a determinar primero las longitudes horizontales y verticales, las siguientes figuras nos muestra la forma de calcular dichas longitudes.

Cálculo de segmentos horizontales verticales

Como vemos en la figura anterior, solo se tiene que medir la longitud de los segmentos y eso es todo el procedimiento a seguir.

El procedimiento cambia cuando se pregunta de una línea recta que tiene ángulo diferente a 0°, 90°, 270°o 360°. Para este caso debemos utilizar una fórmula que deduciremos a continuación:

Longitud de un segmento de recta

Para determinar la distancia entre dos puntos, tenemos que recurrir al teorema de Pitágoras.

Comenzamos por determinar los puntos A y B, los cuales tienen las siguientes coordenadas $A (x_1,y_1)$ y $B (x_2,y_2)$

Definimos a $\Delta$ tanto en x como en y de la siguiente forma:

$$\Delta x=x_2-x_1$$
$$\Delta y=y_2-y_1$$

La distancia va a ser desde el punto A hasta el punto B, para esto vemos que esa distancia es como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, donde sus catetos opuesto y adyacente son $\Delta x$ y $\Delta y$ respectivamente.

de acuerdo a el teorema de Pitágoras y llevándolo a nuestro triángulo, la fórmula queda de la siguiente forma:

$$d^2=(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

despejando la letra d de la ecuación anterior y sustituyendo la deltas nos queda

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Lo anterior la llamaremos Fórmula de Distancia entre Dos puntos.

Ejercicios de distancia entre dos puntos.

Calcular la distancia entre los puntos $A (-7,5)$ y $B (-2,9)$.

Para calcular la distancia entre los puntos A y B, recurrimos a la fórmula de distancia entre dos puntos e identificamos los valores de $x_1,x_2,y_1,y_2$.

Para nuestro problema tenemos \[A(\underbrace { – 7}_{{x_1}},\underbrace 5_{{y_1}})\] y \[B(\underbrace { – 2}_{{x_2}},\underbrace 9_{{y_2}})\]

Lo anterior se sustituye en la fórmula de distancia entre dos puntos de la siguiente forma

$$d=\sqrt{(-2-(-7))^2+(9-5)^2}$$
$$d=\sqrt{(-2+7))^2+(9-5)^2}$$
$$d=\sqrt{(5)^2+(4)^2}$$
$$d=\sqrt{25+16}$$

siendo el resultado

$$d=\sqrt{41} \;u$$

Aplicación de la longitud de la recta.

Una aplicación de la longitud de la recta es la de determinar perímetros y áreas de figuras geométricas.

Ejemplo del perímetro y área de un triángulo por medio de la Fórmula de Herón.

Determinar el perímetro y área del triángulo que tiene como vértices las coordenadas en A(4,5), B(1,1) y C(7,1).

Para calcular el perímetro del triángulo, primero hay que calcular las longitudes de los tres lados y para esto ocupamos la fórmula de distancia entre dos puntos.

Primero calcularemos la distancia entre el punto A(4,5) y B(1,1) ($d_{AB}$).

Sustituyendo los valores de los puntos en la fórmula obtenemos:

$$d_{AB}=\sqrt{(1-4)^2+(1-5)^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}$$
$$d_{AB}=\sqrt{9+16}$$
$$d_{AB}=\sqrt{25}$$
$$d_{AB}=5$$

Ahora calculamos la distancia entre el punto B(1,1) y C(7,1) ($d_{BC}$).

$$d_{BC}=\sqrt{(7-1)^2+(1-1)^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{(6)^2+(0)^2}$$
$$d_{BC}=\sqrt{36}$$
$$d_{BC}=6$$

Por último calculamos la distancia entre el punto A(4,5) y C(7,1) ($d_{AC}$).

$$d_{AC}=\sqrt{(7-4)^2+(1-5)^2}$$
$$d_{AC}=\sqrt{(3)^2+(-4)^2}$$
$$d_{AC}=\sqrt{9+16}$$
$$d_{AC}=\sqrt{25}$$
$$d_{AC}=5$$

Resumiendo, tenemos las tres longitudes del triángulo y para calcular su perímetro solo tenemos que sumarlas

$$P=d_{AB}+d_{BC}+d_{AC}$$
$$P=5+6+5$$
$$P=16\; u$$

Para el área tenemos que usar la Fórmula de Herón, la cual tenemos a continuación y hace referencia a los lados ya calculados

$$A=\sqrt{S(S-A)(S-B)(S-C)}$$

Donde A, B y C son los lados del triángulo

Para nuestro caso $A=d_{AB}$, $B=d_{BC}$ y $C=d_{AC}$.

$S$ es el semiperímetro y se calcula de la siguiente forma

$$S=\frac{A+B+C}{2}$$

Haciendo el cálculo con nuestros datos tenemos lo siguiente

$$S=\frac{5+6+5}{2}$$
$$S=\frac{16}{2}$$
$$S=8\;u$$

El semiperímetro lo sustituimos el la fórmula de Herón y queda

$$A=\sqrt{8(8-5)(8-6)(8-5)}$$
$$A=\sqrt{8(3)(2)(3)}$$
$$A=\sqrt{144}$$
$$A=12\;u^2$$

Nuestro triángulo tiene un perímetro $\color{blue}{P=16\;u}$ y una área de $\color{blue}{A= 12\;u^2}$.

Cálculo de áreas mediante determinates

Otra forma de calcular el área de la figura geométrica es utilizando los determinantes, representada por lo siguiente:

$$\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\ x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix} $$

De inicio lo que se debe hacer es sustituir el valor de las tres coordenadas del triángulo en el siguiente determinante y seguir el orden de las flechas para multiplicar cada valor de x con y de la trayectoria descrita en la figura.

Determinante para calcular áreas

De la figura anterior se desprende la siguiente fórmula, proveniente de la regla de Sarrus:

$$D=(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(x_1y_3+x_3y_2+x_2y_1)$$

Para determinar el área, en este caso de una figura de tres lados tenemos lo siguiente

$$A=\frac{1}{2} |D| $$

Ejemplo del cálculo de áreas mediante determinantes.

Determinar el área del triángulo que tiene como vértices las coordenadas en A(4,5), B(1,1) y C(7,1) mediante determinantes.

Utilizando la fórmula D, tenemos lo siguiente:

$$D=[(4)(1)+(1)(1)+(7)(5)]-[(4)(1)+(7)(1)+(1)(5)]$$
$$D=[(4)+(1)+(35)]-[(4)+(7)+(5)]$$
$$D=[40]-[16]$$
$$D=[40]-[16]$$
$$D=24$$

Para el área se usa la fórmulas A

$$A=\frac{1}{2} |24| $$
$$A=12\ u^2 $$